Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Académie dans les séances des 22 mai et 29 mai 1837.).

  • Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.
Date:
[1837]
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Credit: Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Académie dans les séances des 22 mai et 29 mai 1837.). Source: Wellcome Collection.

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    et par suite (3) r(j:) = O, F(a:)-1- = O» F(x -f — F(x) Ax Or, si, pour une certaine valeur réelle ou imaginaire de t, les raci- nes X, X 4- Aj? se confondent, en faisant converger t vers cette valeur, pour laquelle l’équation (i) acquerra une racine double ou multiple, on verra l’équation (3) se transformer en cette autre (4) F' (x) = O. Ainsi, lorsque le paramètre t obtient une valeur pour laquelle l’équa- tion (i) acquiert une racine double ou multiple, cette racine est commune à l’équation ''i) et à sa dérivée. Cela posé, si l’on nomme valeurs princi- pales du paramètre t celles qui donnent des racines communes à l’équa- tion (i) et à sa dérivée, on déduira immédiatement des remarques précé- dentes, jointes au théorème 1®% la proposition que nous allons énoncer. » 2' Théorème. Toute racine d’une équation est généralement dévelop- pable suivant les puissances ascendantes d’un paramètre renfermé dans l’équation dont il s’agit, tant que le module de ce paramètre reste inférieur aux modules de toutes ses valeurs principales. Corollaire. Soient y, .... plusieurs racines réelles ou imaginaires de l’équation (i). Pour de très pe- tites valeurs du module d’un paramètre t compris dans cette éc|uation, chacune des racines a, .... sera généralement développable suivant les puissances ascendantes de et l'on pourra en dire autant de la somme de ces racines et de la somme de leurs puissances entières d’un degré quel- conque. Si le module de t venant à croître, deux ou plusieurs racines, par exemple, a et ou a, Ç, et y, etc.,... deviennent égales entre elles, pour une certaine valeur du module dont il s’agit ; à partir de cet instant, les racines et, € ou ce, C, y,... . cesseront d’étre fonctions continues de t, et séparément développables suivant les puissances ascendantes de t. Mais la somme de ces racines, ou la somme de leurs puissances semblables ne cessera pas d’étre fonction continue du paramètre t, et développable sui- vant les puissances ascendantes de ce paramètre; et il en sera ainsi jus- qu’au moment où l’accroissement progressif du module de t rendra l’une