Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Weyl, Hermann, 1885-1955.
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    als Elementardreiecke einer Triangulation aufgefaßt werden können. Ge- schlossen. 5. Durch Projektion des regulären Oktaeders von seinem Mittelpunkt aus auf die Oberfläche der umbeschriebenen Kugel erhält man die Kugel als eine in acht Elementardreiecke (die Oktanten) zerlegte Mannigfaltig- keit. Kugel und Oktaeder sind im Sinne der Analysis situs äquivalent. Das Möhiiissche Band}) Es entsteht einem langen schmalen Rechteck, wenn man dasselbe im drei- dimensionalen Raum um 180 tordiert und so zu- sammenbiegt, daß die Schmalseiten des Recht- ecks in verkehrter Lage zur Deckung kommen. Diese Raumfläche läßt sich, auf rechtwinklige Koordinaten xys bezogen, mit Hilfe zweier reeller Parameter q, cp am ein- fachsten analytisch so zur Darstellung bringen ^): ix='{a — () sin \(p) cos qp \y = {a — Q s\n\cp) sin(p \z = Q cos \q). Fig. 4 Triangulation der projektiven Ebene. Fig. MöbiusBches Band. (p ist unbeschränkt veränderlich, q an die Bedingung p | < A geknüpft; a und h bedeuten positive Konstante, von denen h die kleinere sein muß. Im Sinne der Analysis situs ist das Möbiussche Band offenbar mit der folgenden Mannigfaltigkeit ® identisch: In einer Euklidischen Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten Q, (p betrachten wir den Streifen j () | < 1 und die durch q' = {—IYq, (p' = (p +2n% [w = 0,+ 1,+2, •.•] 'definierte diskrete Gruppe V von Paddelbewegungen^) (p, (p) -> {q cp'). Ein 1) Möbius, Werke, Bd. 2, S. 484—485 und S. 519—521. 2) Die durch diese Gleichungen dargestellte Fläche ist allerdings keine Developpable. 3) Das (niederdeutschem Sprachgebrauch entlehnte) Wort „Paddelbewegung soll darauf hindeuten, daß die Gruppe erhalten wird, indem man die Ebene fortgesetzt um eine Achse umklappt, abwechselnd links herum und rechts her- um, sie dabei aber gleichzeitig jedesmal (um das Stück 2it) in Richtung jener Achse vorwärtsschiebt.