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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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![Umgebung- nennen wir, wo eine kurze Benennung- erwünscht ist, mit Rücksiclit auf den darstellenden Parameter eine ^-Umgebung. Hat man zwei verschiedene Darstellungen desselben Funktions- elements e: z = P{t), u==Q{t); bzw. ^ = n(r), m = K(r) (die durch die Substitution t = t{t) = c^t -f c,r^ + ... [q 4= 0] ineinander übergehen mögen), so gilt der wichtige Satz: Jede t- Umgebung von e enthält eine x- Umgebung von e und also auch umgekehrt jede t- Umgebung eine t- Umgebung. Beweis: Die ^-Umgebung sei durch \t\<ir bestimmt. Wir wählen dann eine positive Zahl q so, daß in t | < p die Potenzreihe ^(t) konver- giert, dem absoluten Betrage nach < r bleibt und keinen Wert zweimal annimmt. Diese Ungleichung \x\ <C Q bestimmt eine r-Umgebung, von der ich behaupte, daß sie in der ursprünglichen /-Umgebung enthalten ist. Durch Umordnen von TT(t), K(r) nach Potenzen von x' = x — t^ (I '^o I <P) entstehe die Darstellung TT'(t'), K'(t') des Elements Cr«, durch Umordnen von Pit), Q(t) nach Potenzen von t' = t — tQ [t^ = t{x^, t^ <r] das Element (P'{t'), Q'{t')) = e<„; dann ist er„ = e,„. Dadurch nämlich, daß man t{x) nach Potenzen von x' = x — x^ umordnet, bekommt man (6) t'(x') = ^(r) -t,=^ c/t' + c/t'^ + ..., und es ist offenbar F\t'{x')) = T[\x'), Q'{t\x')) = K'(r'); denn in einer gewissen Umgebung des Punktes t^ der komplexen r-Ebene sind z. B. TT'(r — t,,), P'(t{x) — to) reguläre Funktionen, die dem Werte nach mit TT(t) übereinstimmen. In der Substitution (6), die das Paar P'it'), Q'{t') in '^'{'^'), K'(t') überführt, ist aber der erste Koeffizient c^ = -^' _ =4= 0, da sonst die Funktion t{x) in der Nähe von x = Xq einen und denselben Wert t immer an mindestens zwei Stellen annehmen würde. Damit ist die Identität von er„, tt^ bewiesen. Der hier eingeführte Begriff der analytischen Umgebung entspricht in einer für die weiteren Formulierungen zweckmäßigeren Form dem in § 1 an seiner Stelle benutzten Begriff der unmittelbaren analytischen Fort- setzung. In diesem Begriff der analytischen Umgebung tritt es auch zu- tage, daß die irregulären Elemente gegenüber den regulären nur als Aus- nahmestellen zu betrachten sind; denn die analytische Umgebung eines jeden Elements, wenn sie nur hinreichend klein genommen wird, besteht (ab- gesehen vielleicht von diesem Element selbst) stets ausschließlich aus regu- lären Funktionsdementen. Um dies einzusehen, braucht man nur den die gesuchte Umgebung von e = (-P(^), QXt)) bestimmenden Kreis | /| < r so](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0026.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
